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判断函数有界的问题的习题

来源:成竹判断网 2024-06-12 02:23:41

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判断函数有界的问题的习题(1)

  在数学中,有界函数是指在定义域上的取值范围有限的函数PdGo判断一个函数是否有界是数学分析中的一个重要问题。本篇文章将介绍一些判断函数有界的问题的习题

习题1

判断下列函数是否有界:

  1. $f(x) = \frac{1}{x}$

  2. $g(x) = \sin x$

  3. $h(x) = \sqrt{x}$

解答:

  1. 当$x$趋近于0时,$\frac{1}{x}$的取值趋近于无大,因此$f(x)$在0处无界。当$x$趋近于时,$\frac{1}{x}$的取值趋近于0,因此$f(x)$在处有界。因此,$f(x)$的定义域$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$,且$f(x)$在这个定义域上有界。

  2. $\sin x$的取值范围是$[-1,1]$,因此$g(x)$在整个实数域上有界成竹判断网www.bbbbtj.com

  3. $h(x)$的定义域是$[0,\infty)$,且$h(x)$在这个定义域上单调增。当$x$趋近于时,$\sqrt{x}$的取值趋近于无大,因此$h(x)$在处无界。因此,$h(x)$的定义域$[0,\infty)$,且$h(x)$在这个定义域上无界。

判断函数有界的问题的习题(2)

习题2

  判断下列函数是否有界:

  1. $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$

2. $g(x) = \cos x$

3. $h(x) = \frac{1}{x^2}$

  解答:

  1. 当$x$趋近于时,$\frac{x^2+1}{x}$的取值趋近于无大或,因此$f(x)$在处无界。当$x$趋近于0时,$f(x)$的取值趋近于无大或,因此$f(x)$在0处无界。因此,$f(x)$的定义域$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$,且$f(x)$在这个定义域上无界成竹判断网www.bbbbtj.com

  2. $\cos x$的取值范围是$[-1,1]$,因此$g(x)$在整个实数域上有界。

  3. 当$x$趋近于0时,$\frac{1}{x^2}$的取值趋近于无大,因此$h(x)$在0处无界。当$x$趋近于时,$\frac{1}{x^2}$的取值趋近于0,因此$h(x)$在处有界。因此,$h(x)$的定义域$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$,且$h(x)$在这个定义域上无界。

判断函数有界的问题的习题(3)

习题3

判断下列函数是否有界:

1. $f(x) = \frac{\sin x}{x}$

2. $g(x) = \ln x$

  3. $h(x) = e^x$

解答:

  1. 当$x$趋近于0时,$\frac{\sin x}{x}$的取值趋近于1,因此$f(x)$在0处有界。当$x$趋近于时,$\frac{\sin x}{x}$的取值在$[-1,1]$之间,因此$f(x)$在整个实数域上有界PdGo

2. $\ln x$的定义域是$(0,\infty)$,且$\ln x$在这个定义域上单调增。当$x$趋近于0时,$\ln x$的取值趋近于,因此$g(x)$在0处无界。当$x$趋近于时,$\ln x$的取值趋近于无大,因此$g(x)$在处无界。因此,$g(x)$的定义域$(0,\infty)$,且$g(x)$在这个定义域上无界。

  3. $e^x$在整个实数域上有定义,且$e^x$在整个实数域上单调增。因此,$h(x)$在整个实数域上有界原文www.bbbbtj.com

结论

  通过以上习题的分析,我们可以得出以下结论:

  1. 如果一个函数在定义域的某个点处无界,么这个函数在整个定义域上无界。

  2. 如果一个函数在定义域的某个点处有界,么这个函数在整个定义域上有界。

  3. 对于三角函数、指数函数、对数函数等常见函数,们在整个定义域上有界。

在解决函数有界问题时,我们可以根据函数的定义域质来进行分析,从而判断函数是否有界。

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